Модель портфеля ценных бумаг гарри марковица - суть и принципы построения. Модель марковица и современная портфельная теория Основоположник теории инвестиционного портфеля

Разработчиком современной теории портфельных инвестиций считается Гарри Марковиц, который в 1952 г. предложил математическую модель портфеля ценных бумаг и разработал методику его оптимизации. Основное допущение, использование которого позволило совершить прорыв в разработке теории инвестиций, состоит в интерпретации понятия риска как среднеквадратического отклонения доходности инвестиционного портфеля от своего среднего значения. Хотя недостатки такого допущения очевидны, однако интегральность этого параметра и разработанность используемого аппарата математической статистики обеспечили эффективность применения подобного подхода для решения практических задач портфельного инвестирования.

При таком способе описания инвестиционный портфель, который состоит из одного вида ценных бумаг, характеризующихся некоторой доходностью и риском, изображается на графике "Риск – Доходность" точкой 1 (рис. 6.3). Портфели, которые состоят из двух видов ценных бумаг в различной пропорции, описываются линией, соединяющей точки 1 и 2 на графике. Инвестиционные портфели, содержащие больше двух видов ценных бумаг, изображаются на графике областью, которая называется областью допустимых инвестиционных портфелей (область 1–2–3 ).

Рис. 6.3.

Относительно поведения инвесторов в теории портфельных инвестиций сделано два предположения. Первое: при прочих равных условиях инвестор выбирает актив с большей доходностью; второе: из двух активов с одинаковой доходностью инвестор предпочитает актив с меньшим риском.

На графике "Риск – Доходность" (рис. 6.4) инвестиционные предпочтения инвестора описываются некоторой кривой L 1, называемой кривой безразличия. Особенность данной кривой состоит в том, что инвестиции в ценные бумаги, характеристики которых расположены на данной линии, равнопривлекательны для инвестора. Если кривая безразличия (то, во что инвестор готов инвестировать, – линия L 1) не пересекается с областью, описывающей допустимые инвестиционные портфели (то, что предлагает рынок, – область 1–2–3 ), то такие инвестиционные портфели не удовлетворяют инвестора (рис 6.4, а ). Для того чтобы инвестор затратил денежные средства на приобретение ценных бумаг, необходимо изменить структуру инвестиционного портфеля таким образом, чтобы кривая безразличия L 1 стала проходить через область допустимых инвестиционных портфелей (рис. 6.4, б, область 5–4–3 ).

Принимая во внимание первое предположение о поведении инвесторов (при прочих равных условиях инвестор выбирает актив с большей доходностью ), из всей области допустимых инвестиционных портфелей инвестор выберет портфели, которые описываются линией А–Б (область эффективных портфелей Марковица, см. рис. 6.4, б ). Из этого множества эффективных портфелей необходимо выбрать портфель с оптимальным соотношением параметров "риск – доходность". Для этого следует из всех кри-

Рис. 6.4.

а – структура инвестиционного портфеля не удовлетворяет инвестора; б – структура инвестиционного портфеля удовлетворяет инвестора

вых безразличия выбрать такую линию, которая отвечает наибольшему неприятию риска (L 2). Такая кривая будет смещена максимально влево-вверх, пересекаясь с областью допустимых портфелей Марковица в одной точке (А), которая определяет оптимальный инвестиционный портфель (рис. 6.5).

Рис. 6.5.

Нахождение оптимального портфеля является оптимизационной задачей, для решения которой в настоящее время разработано достаточно много эффективных алгоритмов. Однако наибольшая трудность при решении такой задачи состоит в определении кривой безразличия инвестора. Поэтому модель Марковица имеет в основном методологическое значение, показывая принципиальную возможность нахождения оптимального портфеля.

Модель Тобина с безрисковым активом. Дж. Тобин предложил метод нахождения оптимального инвестиционного портфеля путем включения в него безрисковых ценных бумаг. Понятие безрисковой ценной бумаги в модели Марковица означает, что доходность такой ценной бумаги имеет среднеквадратическое отклонение, равное нулю. На графике "Риск – Доходность" безрисковая ценная бумага изображается точкой О (рис. 6.6). Комбинация безрисковой ценной бумаги с любыми другими ценными бумагами из эффективного инвестиционного портфеля изображается прямой линией (например, прямая ОБ, см. рис. 6.6). Выбираем структуру портфеля с безрисковым ак-

Рис. 6.6.

швом таким образом, чтобы он отвечал наибольшей доходности (наибольшая крутизна линии ОБ). Этому портфелю на графике "Риск – Доходность" (см. рис. 6.6) отвечает прямая линия ОА, касающаяся линии эффективного портфеля в точке А. В результате получим новую совокупность эффективных портфелей, содержащих безрисковые ценные бумаги, описываемых на графике "Риск – Доходность" прямой ОА и линией эффективного портфеля АБ. При этом оптимальный инвестиционный портфель, содержащий безрисковые ценные бумаги, определяется точкой А.

Для определения параметров оптимального портфеля, содержащего безрисковые ценные бумаги, был разработан алгоритм Элтона – Груббера – Падберга, который позволяет вычислять доли (веса) ценных бумаг, входящих в оптимальный инвестиционный портфель.

Индексная модель Шарпа

У. Шарп предложил модель, в которой ценные бумаги и их поведение сравниваются с поведением рынка в целом. Модель основана на предположении, что операции с любыми ценными бумагами имеют приблизительно одинаковую доходность. Если доходности каких-либо ценных бумаг начинают отличаться от среднерыночных показателей, это указывает на изменение их инвестиционной привлекательности по сравнению с рынком в целом. В зависимости от значения предложенных индикаторов даются рекомендации, что надо делать с этими ценными бумагами: покупать, продавать или держать. Шарп ввел следующие параметры:

• коэффициент β – показатель, который представляет собой ковариацию между поведением рассматриваемой ценной бумаги и поведением рынка в целом, взвешенную на степень ее риска по отношению к риску рынка в целом;
• коэффициент α – показатель, характеризующий смещение доходности рассматриваемой ценной бумаги (r i) относительно среднерыночного значения (r т). Соотношение между этими величинами имеет вид r i = α +β r m;
• коэффициент корреляции доходностей ценной бумаги и рынка R 2, являющийся для модели вспомогательным параметром.

• 1) покупать следует, если ценная бумага недооценена (α
• против падающего рынка (β
• по растущему рынку (β > 0);

При этом необходимо, чтобы R 2 –> 0. Во всех остальных случаях ценные бумаги следует держать.

На западных рынках значения α, β и R 2 регулярно рассчитываются для всех ценных бумаг и публикуются вместе с индексами. Пользуясь этой информацией и совершая сделки купли-продажи, инвестор может сформировать собственный портфель ценных бумаг.

Приветствую вас дорогие друзья. Портфельная теория вот о чем сегодня пойдет разговор.

Считаю эту тему принципиальной для частного инвестора, особенно индексного, так как именно то как составлен инвестиционный портфель и определяет в конечном итоге его доходность. То есть именно распределение активов, а не выбор времени для покупки определяет конечную доходность инвестиционного портфеля. По данному вопросу было проведено исследование и даже не одно. Вот, например, в 1986 году американские ученые GaryBrinson, L. RandolphHood и Gilbert Beebower провели фундаментальное исследование «Determinants of Portfolio Performance». В результате они выяснили, что распределение активов определяет от 75,5% до 98,6% итоговой доходности инвестиционного портфеля. Это так небольшое вступление

Итак, давайте приступим к пристальному рассмотрению портфельной теории, ведь важно понять можно ли ее применять на практике для формирования максимально эффективного инвестиционного портфеля или нет.

План статьи:

Суть портфельной теории

Самое главное это понять суть теории, которую мы в последствии будем применять на практике.

Портфельная теория – это набор правил для составления инвестиционного портфеля с определенными характеристиками риск/доходность.

Это очень упрощенное определение, но чем проще, тем лучше для понимания сложных и навороченных научными терминами и скучными формулами вопросов.

Давайте разберемся с тем что же предлагает портфельная теория инвестору.

Основная задача портфельной теории - найти такое сочетание активов, которое будет максимально приближенно к границе эффективности. Что такое граница эффективности?

Я думаю, что многие сейчас задались этим вопросом. Так вот граница эффективности это наилучшее сочетание инвестиционных активов для заданного уровня доходности и риска.

Вот наглядная иллюстрация границы эффективности:

Как же достичь подобного сочетания активов? В теории все просто.

Берется перечень активов, после чего такие данные как стандартное отклонение, средняя доходность и корреляция активов сводятся во едино в сложных математических расчетах, на выходе которых – максимально эффективный инвестиционный портфель.

Давайте пройдемся по терминам.

Стандартное отклонение – это величина отклонения от среднего значения. То есть мы берем среднюю доходность актива, потом измеряем отклонения как в положительную, так и в отрицательную сторону. И вот величина этого отклонения и есть стандартное отклонение.

Чем выше стандартное отклонение, тем больше разброс доходностей, изменения цены и т.д.

Соответственно актив, у которого стандартное отклонение выше является более рискованным. Правда в точности оценить степень риска не получится, и чуть позже вы поймете почему.

Средняя доходность – это усредненное значение доходностей того или иного актива. Причем бывает среднегеометрическая доходность и среднеарифметическая. Среднегеометрическая доходность всегда чуть меньше чем среднеарифметическая из-за разницы в расчетах.

Вычисляется по простой процентной ставке.
Формула расчета очень простая:

D n – доходность за определенный период

n – период расчета доходности

Cреднегеометрическая доходность — вычисляется по сложной процентной ставкеи равна корню n-й степени от накопленного дохода, где n - число периодов расчета накопленного дохода.

D n – доход за один период (день, месяц, год);

n – число периодов расчетов

Давайте я объясню вам этот эффект на простом примере:

Как видите среднегеометрическая доходность отстала от среднеарифметической. Они будут равны только в том случае, когда доход будет одинаковым за все изучаемые периоды. Но как вы понимаете постоянная доходность возможна только лишь по банковским вкладам и аналогичным активам с фиксированной доходностью и отсутствующей волатильностью. То есть именно волатильность порождает такой эффект отставания среднегеометрической доходности от среднеарифметической.

Корреляция.

С таким термином как корреляция вы уже скорее всего встречались, в том числе и на моем сайте, так как я неоднократно упоминал о том, что такое корреляция в своих публикациях

Но все же я напомню. Корреляция – это зависимость двух или более статистически значимых величин.

Максимальная величина корреляции 1, минимальная -1.

Если корреляция равна 1, значит величины движутся абсолютно синхронно. Такую степень корреляции называют идеально положительной. Если – 1, то величины прямо противоположны и такую корреляцию называют идеально отрицательной.

В контексте инвестиционной деятельности под корреляцией, конечно же, понимают совпадение или же несовпадение в изменении стоимости различных активов.

Чем корреляция ближе к нулевой отметке или вообще ниже нуля, тем лучше работает диверсификация. Если вы читали статью о диверсификации, то уже знаете, что более выраженный эффект диверсификации проявляется в повышении доходности одновременно при снижении риска.

Если вы нашли 2 или более активов с абсолютно отрицательной корреляцией, то вы можете получить гарантированную доходность. То есть для инвестора полезна как положительная, так и отрицательная корреляция инвестиционных активов.

Правда стоит отметить что в реальной жизни найти 2 актива с нулевой или отрицательной корреляцией очень сложно если не сказать невозможно.

С определениями разобрались, вернемся к составлению портфеля. Вроде бы все хорошо и на данный момент такие статистические данные как корреляция, стандартное отклонение и средняя доходность доступны каждому, соответственно составить максимально эффективный инвестиционный портфель будет не трудно, достаточно подставить данные для расчета в специализированное программное обеспечение или же доверить эти расчеты высококлассным специалистам.

И некоторые специалисты (хотя скорее всего большинство) будут утверждают, что смогут определить границу эффективности и составить инвестиционный портфель с наилучшим сочетанием риск/доходность.

Хочу вас огорчить, такие заявление не более чем красивые слова. В действительности же определить границу эффективности не способен никто, ведь она постоянно изменяется. Это значит, что самые доходные классы активов вчера становятся убыточными сегодня. И это неизбежно.

Соответственно задача инвестора не заключается в том, чтобы сделать портфель максимально эффективным, а в том, чтобы сильно не ошибиться при его формировании.

Да я уже говорил о том, что есть программное обеспечение, которое позволяет в несколько кликов определить максимально эффективный инвестиционный портфель с заданным сочетанием риск/доходность.

Математические расчеты ведутся согласно портфельной теории и по идее все должно работать. Но как я уже говорил теория это одно, а практика совершенно другое.

На деле оптимизаторы инвестиционных портфелей являются максимализаторами ошибок, показывая отвратительные результаты с реальными инвестиционными портфелями, если слепо полагаться на их расчеты и не выставить ограничения максимальной доли того или иного актива в портфеле.

Как раз необходимость выставления ограничений в расчетах программы на самом деле и есть подтверждение того, что математически рассчитать максимально эффективный инвестиционный портфель не представляется возможным. Определение состава инвестиционного портфеля на глазок так сказать в ручном режиме и на основе расчетов специальной программы, но с определенными ограничениями по сути ничем не отличается. А это значит, что, руководствуясь здравым смыслом частные инвесторы способны составить инвестиционный портфель с хорошими показателями риск/доходность.

Возможно в будущем найдется математик, который найдет решение этой проблемы, аналогично тому как главный герой вывел формулу расчета котировок ценных бумаг в фильме под названием:“Пи ”. Ну а пока двигаемся дальше.

Допущения портфельной теории

При разработке теории были сделаны следующие допущения:

• Издержки отсутствуют. Причем все виды издержек: брокерские комиссии за совершение сделок, спрэд между ценой покупки и продажи ценных бумаг и конечно же налоги.
• Ликвидность рынка максимальна. Никто не способен повлиять на курс ценной бумаги, соответственно и можно открывать позицию любого размера.
• Инвесторы полностью рациональны, они в курсе всех рисков которые сопровождают инвестиционную деятельность, и формируют свой инвестиционный портфель согласно приемлемого для них уровня риска.
• Инвесторы совершают сделки купли продажи активов идентичным образом и только в случае появления активов с лучшим сочетанием риск/доходность в их конкретной ситуации. При принятии инвестиционных решений инвесторы не учитывают полученные дивиденды или прирост капитала.
• Инвесторы контролируют риск инвестиционного портфеля только с помощью диверсификации активов
• Инвесторы делают выбор между наивысшей доходностью при заданном уровне риске и максимальной доходностью при минимальном риске.
• Политические события никак не влияют на рынок. Психология никак не участвует в ценообразовании активов.
• Под риском инвестиционного портфеля подразумевается нестабильность дохода.

История создания и доработка портфельной теории

Основные положения портфельной теории были сформулированы Гарри Марковицем при подготовке им докторской диссертации в 1950-1951 годах.

Рождением же портфельной теории Марковица считается опубликованная в «Финансовом журнале» в 1952 году статья «Выбор портфеля». В ней он впервые предложил математическую модель формирования оптимального портфеля и привёл методы построения портфелей при определённых условиях. Основная заслуга Марковица состояла в предложении вероятностной формализации понятий «доходность» и «риск», что позволило перевести задачу выбора оптимального портфеля на формальный математический язык. Надо отметить, что в годы создания теории Марковиц работал в RAND Corp., вместе с одним из основателей линейной и нелинейной оптимизации - Джорджом Данцигом и сам участвовал в решении указанных задач. Поэтому собственная теория, после необходимой формализации, хорошо ложилась в указанное русло.

Марковиц постоянно занимается усовершенствованием своей теории и в 1959 году выпускает первую посвящённую ей монографию «Выбор портфеля: эффективная диверсификация инвестиций».

В 1990 году, когда Марковицу вручают Нобелевскую премию, выходит книга «Средне-дисперсионный анализ при выборе портфеля и рынка капитала».

Информация позаимствована из Википедии

Проблемы портфельной теории

Когда я разъяснял суть портфельной теории “на пальцах” вскользь упомянул о тех трудностях, которые встают на пути портфельного инвестора при попытке воплотить в жизнь теоретические расчеты.

А проблемы действительно серьезные. Сейчас постараюсь без лишнего пафоса и пренебрежения к трудам Гарри Марковица, открыть вам глаза на портфельную теорию.

Не так давно я был сторонником портфельной теории, но после долгих раздумий после прочтения книги черный лебедь Нассима Николаса Талеба:“Черный лебедь”, мои взгляды изменились.

Мы действительно живем в крайнестране где встречаются черные лебеди.

Черный лебедь - это метафоричное определение совершенно неожиданного события, несущего за собой негативные последствия.

Крайнестран и среднестран это определение двух противоположных миров. Крайнестран это мир где есть черные лебеди. А вот среднестран это мир без черных лебедей, который вполне можно втиснуть в рамки какой-либо теории, портфельной, например.

Но сожалению порой очень жесткая реальность не вписывается в рамки портфельной теории. В чем это проявляется? А в том, что такие статистические данные как корреляция и стандартное отклонение не работают в крайнестране. Как вам получение убытков в 2, 3 раза превышающее рассчитанное стандартное отклонение по какому-либо активу, или же изменение корреляции двух активов с около нулевой отметки до 0,7-0.8 или даже 0,9 в момент обвала фондового рынка что делает диверсификацию практически бесполезной?

Неприятно да? Думаю, многих не устроят подобные события, но по факту именно это и происходит в жизни.

В качестве наглядного примера таких событий возьму, пожалуй, самый сильный кризис в истории США – великую депрессию. А потом рассмотрим, как работает стандартное отклонение в качестве мерила риска на отечественном рынке.

Итак, великая депрессия 30-х годов 20 века. Фондовый рынок США упал более чем на 80% и такого катастрофичного развития событий совсем не ждали. И если бы человек полагался на стандартное отклонение, рассчитанное до великой депрессии, то он бы не смог адекватно измерить степень риска инвестиций в акции.

И сейчас я это вам наглядно продемонстрирую. Рассмотрим первый в истории США фондовый индекс — dowjones. Сначала, как я и сказал, возьмем промежуток времени 1900-1929, как раз перед началом кризиса. И выясним к чему нас могло подготовить стандартное отклонение.

Как видно из графика, до эти 29 лет были достаточно удачными для инвесторов, годовое стандартное отклонение составило 26,72%. А по факту далее инвесторы вложившие деньги в компании,входящие в состав индекса dowjones потеряли более 80% капитала. Эти убытки превысили стандартное отклонение почти в 4 раза.

Сторонники портфельной теории могут возразить и предложат выбрать большую выборку для того чтобы точно определить уровень риска для выбранного вами инвестиционного актива.

Окей, давайте возьмем тот же индекс dowjones, но только уже с 1900 по 2016 год.

Теперь то вы понимаете, что стандартное отклонение бесполезно для измерения степени риска по какому-то ни было инвестиционному активу? Из-за того, что выборка большая, такие грандиозные события как великая депрессия выглядят не так уж эпично. То есть такие события не могут оказать должного влияния для того, чтобы стандартное отклонение выполнило свою задачу как реального измерителя риска. Причем для примера я взял индекс акций, состав которого постоянно изменяется. А что если рассмотреть отдельные акции? Окажется что лишь небольшая кучка компаний, которые были основаны 100 лет назад дожили до сегодняшнего дня.

И как измерить риск банкротства компании акции, которых вы приобрели, с помощью того же стандартного отклонения? Ответ — никак. Возможно лишь сделать прогноз на основе фундаментальных показателей этой компании. И то вероятность того, что прогноз сбудется будет уменьшаться по мере увеличения периода, который мы собираемся прогнозировать.

Вернемся к графику.

Великая депрессия не выглядит такой великой, да собственно на графике этот период вообще никак не выделяется. Почему же такое грандиозное событие за всю историю фондового рынка США почти не видно на графике? А все зависит от временного масштаба. Чем больший период мы хотим проанализировать, тем, менее значительными будет рост котировок в начале этого периода. Так происходит из-за эффекта сложных процентов, которые придают движению фондового рынка в долгосрочной перспективе экспоненциальный вид.

Хорошо, как обстоят дела за рубежом мы выяснили, а что же не счет российского фондового рынка?

У нас ситуация немного иная. Сейчас объясню почему. Дело все в том, что начало расчета индекса ММВБ совпало с кризисом 1998 года, который по масштабам был сопоставим по размаху великой депрессии в США. Соответственно из-за небольшой выборки такое значительное событие как кризис 1998 года в России оказал значительное влияние на величину стандартного отклонения.

Я рассчитал стандартное отклонение для индекса ММВБ с 1997 по 2007 год, получилось 81%. То есть кризис 2008 года на фондовом рынке России вполне себе уложился в рассчитанное стандартное отклонение.

Наверняка вы заметили, что чем больший временной отрезок вы рассматриваете, тем более низким оказывается стандартное отклонение. По мере увеличения выборки для расчета стандартного отклонения, такие черные лебеди (кризисы: великая депрессия, дефолт 1998 года в России и т.д.) становятся “исключениями из правил средней доходности” и соответственно они не могут сильно повлиять на конечный результат расчетов. Хотя справедливости ради хотелось бы отметить, что таких исключений в последнее время стало слишком много?.

Так как в России история фондового рынка в принципе еще не велика, эта “патология стандартного отклонения в крайнестране” незаметна, но я абсолютно уверен в том, что в будущем она будет видна уже невооруженным взглядом.

Теперь что касается корреляции. Она дает портфельному инвестору слишком мало информации, ведь это динамичная величина, то есть она подвержена постоянным колебаниям. И самое печальное, что корреляция активов повышается именно во время экономического кризиса, именно в тот момент, когда мы нуждаемся в низкой корреляции, для снижения риска инвестиционного портфеля. Соответственно расчеты, в основе которых заложена такая изменчивая величина как корреляция активов становятся бесполезными.

А для примера я взял 2 главных компонента любого инвестиционного портфеля акции и облигации. Для акций – индекс ММВБ (MICEXINDEXCF ), а для облигаций — индекс совокупного дохода корпоративных облигаций (MICEXCBITR )

Первым делом я отметил на графике мировой финансовый кризис 2008 года, 2 по величине (после долгового кризиса 1998 в России). Как видите во время падения фондового рынка, корреляция между акциями и облигациями возрастает до примерно 80%, то есть диверсификация подводит нас в самый важный для нас момент.

Ну и для контраста отметил период роста фондового рынка. Невооруженным взглядом видно, что корреляция плавно снижается, когда на рынке царит процветание.

Несложно сделать следующий вывод. Полезный эффект от диверсификации инвестиционного портфеля лучше всего проявляется в периоды роста фондового рынка, в то время как в периоды его падения диверсификация проявляется очень слабо.

Ну и наконец мы подошли к ответу на главный вопрос: что со всем этим делать?

Как составить инвестиционный портфель частному инвестору?

Хорошо если портфельная теория не может рассчитать устойчивый инвестиционный портфель, который может достойно выстоять в кризисных ситуациях, подобных мировому финансовому кризису или великой депрессии, то что же делать частному инвестору? Каким образом составить инвестиционный портфель?

Я выпустил статью: , где достаточно подробно ответил на этот вопрос.

Подводим итоги

Статья получилась как всегда объемной, но по-другому и не могло быть, ведь портфельная теория - это очень интересная тема, которая занимает множество ученых умов. Надеюсь я вас не слишком утомил. Также я надеюсь на то, что вы уловили основную мысль, которую я старался донести на протяжении всей статьи. И заключается она в том, что составить “нормальный” инвестиционный портфель нельзя с помощью портфельной теории. Если хотите, составление инвестиционного портфеля - это своего рода искусство. К тому же рынки капиталов - это хаотическая финансовая энергия и вряд ли кому-то в скором времени удастся обуздать ее с помощью очередной стройной теории. Сегодня вы узнали много нового: суть портфельной теории и допущения, которые легли в ее основу, также ознакомились с историей разработки этой теории, с проблемами ее применения на практике и наконец вкратце узнали о том, как воплотить в жизнь личный инвестиционный план.

На сегодня, пожалуй, хватит. Если вы нашли неточности или откровенные ошибки в статье, или же вам что-то непонятно, пишите в комментариях и задавайте свои вопросы. Всего доброго.

Возможно вас заинтересует:

Приведем пример формирования инвестиционного портфеля по модели Г. Марковица с помощью программы Excel, разберем достоинства и недостатки данной модели в современной экономике и пути их решения.

Инвестиционный портфель – это совокупность различных финансовых инструментов, удовлетворяющих цели инвестора и, как правило, заключается в создании таких комбинаций активов, которые бы обеспечили максимальную доходность при минимальном уровне риска.

Модель Марковица

Г. Марковиц в 1952 году впервые предложил математическую модель формирования инвестиционного портфеля. В основе его модели лежат два ключевых показателя любого финансового инструмента: доходность и риск, которые были количественно измерены. Доходность по модели представляет собой математическое ожидание доходностей, а риск определяется как разброс доходностей возле математического ожидания и рассчитывается через стандартное отклонение.

До модели Г. Марковица инвестирование происходило, как правило, в выборочные активы или финансовые инструменты, предложенная же им модель позволила снизить систематические (рыночные) риски за счет группировки активов с отрицательной корреляцией доходностей.

Следует заметить универсальность модели, так инвестиционный портфель может быть технически составлен для любых видов финансовых инструментов и активов: акций, облигаций, фьючерсов, индексов, недвижимости и т.д.

Цели формирования инвестиционного портфеля

Выделяют две инвестиционные стратегии при формировании портфеля:

Максимизации доходности инвестиционного портфеля при ограниченном уровне риск.

Минимизация риска инвестиционного портфеля при минимально допустимом уровне доходности.

Расчет доходности инвестиционного портфеля Марковица

Общая доходность портфеля будут представлять собой взвешенную сумму доходностей каждого отдельного финансового инструмента (актива):

где:

r p – доходность инвестиционного портфеля;

w – доля i-го финансового инструмента в портфеле;

r i – доходность i-го финансового инструмента.

Оценка риска инвестиционного портфеля Марковица

В модели Г. Марковица риск отдельно взятого финансового инструмента рассчитывается как стандартное отклонение доходностей. Для расчета общего риска портфеля необходимо отразить их совокупное изменение и взаимное влияние (через ковариацию), для этого воспользуемся следующей формулой:

σp – риск инвестиционного портфеля;

σ i – стандартное отклонение доходностей i-го финансового инструмента;

k ij – коэффициент корреляции между I,j-м финансовым инструментом;

w i – доля i-го финансового инструмента (акций) в портфеле;

V ij – ковариация доходностей i-го и j-го финансового инструмента;

n – количество финансовых инструментов инвестиционного портфеля.

Эконометрический вид модели Марковица

Для того чтобы сформировать инвестиционный портфель необходимо решить оптимизационную задачу. Существует два вида задач: поиск долей акций в портфеле для достижения максимальной эффективности при заданном уровне риска (σ p) и минимизация риска при заданном уровне доходности портфеля (r p). Помимо этого на уравнения накладываются дополнительные очевидные ограничения: сумма долей активов должна быть равна 1 и сами доли активов должны быть положительными.

В таблице ниже показаны формулы и наложенные на них ограничения для поиска оптимальных долей финансовых инструментов (акций).

Портфель Марковица минимального риска	Портфель Марковица максимальной эффективности

Пример формирования инвестиционного портфеля Марковица в Excel

Рассмотрим наглядный пример формирования инвестиционного портфеля по модели Г. Марковица в программе Excel. Наш портфель будет состоять из четырех отечественных акций: ОАО «Газпром» (GAZP), ОАО «Норильский никель» (GMKN), ОАО «Мечел» (MTLR) и ОАО «Сбербанк» (SBER). Были взяты акции различных секторов: нефтегазового, промышленного и финансового, такой выбор увеличивает диверсификацию портфеля и снижает его рыночный риск.

Рекомендуется брать период рассмотрения динамики изменения стоимости акций минимум один год. Это позволяет сделать более точный долгосрочный прогноз доходности и риска портфеля. На рисунке ниже показана ежемесячная стоимость акций за период с 01.02.2014 – 01.02.2015г.

Котировки акций Газпрома, ГМКНорНикеля, Мечела и Сбербанка

На следующем этапе формирования портфеля необходимо рассчитать ежемесячные доходности по каждой акции. Для этого воспользуемся формулой процентов в Excel:

Доходность Газпром =LN(B6/B5)

Доходность ГМКНорНикель =LN(C6/C5)

Доходность Мечел =LN(D6/D5)

Доходность Сбербанк =LN(E6/E5)

Расчет ежемесячных доходностей акций для модели Марковица в Excel

Ожидаемая доходность Газпром =СРЗНАЧ(F5:F17)

Ожидаемая доходность ГМКНорНикель =СРЗНАЧ(G5:G17)

Ожидаемая доходность Мечел =СРЗНАЧ(H5:H17)

Ожидаемая доходность Сбербанк =СРЗНАЧ(I5:I17)

Оценка ожидаемой доходности акций портфеля в Excel

Доходность акции ОАО «Сбербанк» имеет отрицательное ожидание доходности, поэтому ее следует исключить из портфеля. Оценка риска каждой акции – это ее изменчивость (волатильность) по отношению к математическому ожиданию доходностей.

Формула расчета риска акций следующая:

Риск Газпром =СТАНДОТКЛОН(F5:F17)

Риск ГМКНорНикель =СТАНДОТКЛОН(G5:G17)

Риск Мечел =СТАНДОТКЛОН(H5:H17)

Мы получили первоначальные необходимые данные для оценки долей данных акций в инвестиционном портфеле. Для оценки уровня риска всего инвестиционного портфеля воспользуемся надстройкой в Excel. Для этого зайдем в Главном меню → «Данные» → «Анализ данных» → «Ковариация».

Результатом будет таблица ковариаций доходностей акций между собой. Расположим ее ниже под таблицей. Можно заметить, что диагональные значения представляют собой дисперсию доходностей акций.

Пример расчета ковариационной матрицы для инвестиционного портфеля Марковица в Excel.

Для расчета общего риска портфеля воспользуемся формулой рассмотренной выше и для этого нам необходимо перемножить доли весов акций между собой и значения ковариаций этих акций. Для того чтобы понять принцип расчета, установим доли акций 0.3, 0.3 и 0.4 и рассчитаем общий риск портфеля. Доходность портфеля рассчитывается как средневзвешенная сумма доходностей отдельных акций. Так как мы будем перемножать матрицы необходимо транспонировать столбец с долям (wT). Формула расчета риска инвестиционного портфеля будет иметь следующий вид:

Общий риск инвестиционного портфеля =КОРЕНЬ(МУМНОЖ(МУМНОЖ(F26:H26;F23:H25);D23:D25))

Общая доходность инвестиционного портфеля =F18*F26+G18*G26+H18*H26

Формирование инвестиционного портфеля минимального риска

Для данной задачи необходимо определить минимальный уровень допустимой доходности портфеля (r p). Возьмем r p ≥ 4%. При оценке долей акций воспользуемся надстройкой в Excel «Поиск решений», для этого выбираем Главное меню Excel → «Данные» → «Поиск решений», а также введем ограничения на весовые значения коэффициентов у акций: сумма долей акций должна быть равна 1 и сами доли должны иметь положительный знак.

В надстройке «Поиск решений» необходимо ввести ссылку на ячейку, которую следует оптимизировать (общий риск портфеля), ввести, какие параметры необходимо изменять (доли акций) и текущие ограничения. Целевая ячейка – это ячейка с формулой общего риска инвестиционного портфеля. Программа будет изменять значения долей акций при выставленных ограничениях. Формула ограничения размера доли в портфеле будет иметь следующий вид:

Ограничение на сумму долей акций (F30) =СУММ(F26:H26)

Расчет долей акций в инвестиционном портфеле в Excel

В результате мы получаем следующий расчет общего риска и доходности портфеля. Общий риск портфеля составил 8,7%, тогда как общая доходность 4%. Доли акций Газпрома получились равными 27%, доли ГМКНорНикель 73% и Мечела 0%. При заданных условиях эффективнее будет формирование портфеля из двух акций ОАО «Газпром» и ОАО «ГМКНорНикель».

Формирование инвестиционного портфеля Марковица в Excel. Пример расчета для минимального риска

Визуально доли портфеля будут соотноситься следующим образом.

Формирование эффективного инвестиционного портфеля

Вторая задача, которая решается на основе модели Г. Марковица – посторонние портфеля с максимальным уровнем доходности и ограниченным уровнем риска. Разберем на примере данную задачу. Установим максимально допустимый уровень риска портфеля σ p ≤10%. С помощью надстройки «Поиск решений» определим доли акций в данной интерпретации задачи. Целевая ячейка будет ячейка с формулой доходности портфеля, ее следует максимизировать, изменяя значения долей акций при ограничениях по риску. На рисунке ниже показаны основные параметры для формирования портфеля с максимальной доходностью.

Оптимизация инвестиционного портфеля для максимизации доходности

В результате мы получили доли акций в инвестиционном портфеле: 9% акций ОАО «Газпром», 88% акций ОАО «ГМКНорНикель» и 2% акций ОАО «Мечел». Общий риск портфеля не превысил 10%, а доходность составила 4,82%.

Визуально доли инвестиционного портфеля будут соотноситься следующим образом.

Достоинства и недостатки модели Г. Марковица

Рассмотрим ряд недостатков присущих модели Г. Марковица.

• Данная модель была разработана для эффективных рынков капитала, на которых наблюдается постоянный рост стоимости активов и отсутствуют резкие колебания курсов, что было в большей степени характерно для экономики развитых стран 50-80-х годов. Корреляция между акциями не постоянна и меняется со временем, в итоге в будущем это не уменьшает систематический риск инвестиционного портфеля.
• Будущая доходность финансовых инструментов (акций) определяется как среднеарифметическое. Данный прогноз основывается только на историческом значении доходностей акции и не включает влияние макроэкономических (уровень ВВП, инфляции, безработицы, отраслевые индексы цен на сырье и материалы и т.д.) и микроэкономических факторов (ликвидность, рентабельность, финансовая устойчивость, деловая активность компании).
• Риск финансового инструмента оценивается с помощью меры изменчивости доходности относительно среднеарифметического, но изменение доходности выше не является риском, а представляет собой сверхдоходность акции.

Многие из данных недостатков модели были решены последователями: прогнозирование доходности с помощью многофакторных моделей (Ю. Фама, К. Френч, Росс и др.), нейронных сетей; оценка риска на основе моделей ARCH, GARCH и т.д. Следует отметить одно из главных достоинств модели Г. Марковица: систематизация подхода к формированию инвестиционного портфеля и управление его доходностью и риском.

Резюме

В данной статье мы рассмотрели, как с помощью Excel можно сформировать инвестиционный портфель по модели Г. Марковица и решить две классические задачи: максимизация доходности портфеля при минимальном риске и минимизация риска при заданной доходности. Портфель Марковица позволяет снизить систематические риски за счет комбинации различных активов. Несмотря на сложности использования данной модели в современной экономике данная модель применима для таких низковолатильных активов как недвижимость, облигации товарные фьючерсы и т.д. В настоящее время сократился срок пересмотра активов в портфеле, так если раньше он мог составлять год, то сейчас это 2-6 месяцев. С вами был Иван Жданов, спасибо за внимание.

История возникновения

Основные положения портфельной теории были сформулированы Гарри Марковицем при подготовке им докторской диссертации в -1951 годах .

Рождением же портфельной теории Марковица считается опубликованная в «Финансовом журнале» в 1952 году статья «Выбор портфеля» . В ней он впервые предложил математическую модель формирования оптимального портфеля и привёл методы построения портфелей при определённых условиях . Основная заслуга Марковица состояла в предложении вероятностной формализации понятий доходность и риск, что позволило перевести задачу выбора оптимального портфеля на формальный математический язык . Надо отметить, что в годы создания теории Марковиц работал в Rand Corp., вместе с одним из основателей линейной и нелинейной оптимизации - Джорджом Данцигом и сам участвовал в решении указанных задач. Поэтому собственная теория, после необходимой формализации, хорошо ложилась в указанное русло.

Марковиц постоянно занимается усовершенствованием своей теории и в 1959 году выпускает первую посвящённую ей монографию «Выбор портфеля: эффективная диверсификация инвестиций» .

Описание теории

После проведённой Марковицем формализации, с математической точки зрения задача по формированию оптимального портфеля представляла собой задачу квадратической оптимизации при линейных ограничениях . Этот класс задач, является одним из наиболее изученных классов оптимизационных задач , для которых существует большое число эффективных алгоритмов .

Для построения пространства возможных портфелей Марковиц предложил использовать класс активов, вектор их средних ожидаемых доходностей и матрицу ковариаций .

На основе этих данных строится множество возможных портфелей с различными соотношениями доходность-риск .

Так как в основе анализа лежат два критерия, менеджер выбирает портфели :

• Либо поиском эффективных, или неулучшаемых решений. В этом случае любое другое решение, лучше найденных по одному параметру обязательно будет хуже по другому.
• Либо выбирая главный критерий (например, доходность должна быть не ниже определённой величины) остальные используя лишь в качестве критериальных ограничений.
• Либо задавая некий суперкритерий, который является суперпозицией указанных двух (например, их функцией).

Математическая формулировка и решение задач

Портфель Марковица минимального риска

Задача оптимизации портфеля активов с вектором средней доходности ковариационной матрицей может быть сформулирована следующим образом

К этим условиям в задаче оптимизации портфеля активов следует добавить условие положительности портфеля (долей). Однако, в общем случае финансовых инструментов предполагается возможность открытия коротких позиций (отрицательных долей инструментов в портфеле). Тогда можно найти общее аналитическое решение задачи. Если обозначить,

то решение задачи имеет вид

Тогда зависимость дисперсии оптимизированного (эффективного) портфеля от требуемой доходности будет иметь вид

где - минимально возможная дисперсия доходности портфеля и соответствующая ему средняя доходность

Портфель Тобина минимального риска

При наличии безрискового актива (с нулевой дисперсией доходности) с доходностью формулировка задачи меняется

Решение этой задачи имеет вид

Вектор структуры рискового портфеля (доли рисковых активов не во всем портфеле, а в общей стоимости рискового портфеля) будет равен

Видно, что структура рисковой части портфеля не зависит от требуемой доходности. Требуемая доходность определяет лишь соотношение рискового портфеля и безрискового актива.

Средняя доходность рискового портфеля будет равна

Стандартное отклонение оптимального (эффективного) портфеля зависит от требуемой доходности линейно, а именно следующим образом

Нетрудно также определить связь средней доходности отдельных инструментов от средней доходностью портфеля. Для этого определим вектор коэффициентов

Отсюда получаем, что если инвесторы рациональны, то рыночный портфель условно можно считать эффективным, следовательно на рынке средняя доходность инструмента связана с доходностью рыночного портфеля следующим линейным образом

Это модель оценки финансовых активов - CAPM

Примечания

Современная портфельная теория предполагает диверсификацию инвестиционных рисков. Теория позволяет создать совокупность активов с более низким уровнем риска, чем любой отдельный актив. Таким образом, образуется портфель с максимальной доходностью при заданном риске или портфель с минимальным риском при заданной прибыли. Таким образом, современная портфельная теория является стратегическим инструментом диверсификации инвестиций.

Модель Гарри Марковица

Современная Портфельная Теория - представляет собой математическую формулировку диверсификации рисков в инвестировании, которая направлена на выбор группы инвестиционных активов, которые в совокупности имеют более низкий риск, чем любой из активов сам по себе. Это становится возможным, поскольку стоимость различных типов активов часто изменяется в противоположных направлениях. На самом деле инвестирование, будучи компромиссом между риском и доходностью, предполагает, высокую ожидаемую доходность активов с высокой степенью риска.

Таким образом, современная портфельная теория показывает, как выбрать портфель с максимально возможной ожидаемой доходностью для данного уровня риска . Она также описывает, как выбрать портфель с минимальным возможным риском при ожидаемой доходности. Поэтому современная портфельная теория рассматривается как одна из форм диверсификации, которая объясняет, как найти наилучшую стратегию диверсификации.

Модель Гарри Марковица , также известная как Среднедисперсионная Модель основана на ожидаемой доходности (средний показатель) и стандартных отклонениях (дисперсии) различных портфелей. Применяя данную модель, возможно, сделать наиболее эффективный выбор, анализируя различные портфели определенных активов. Метод наглядно указывает инвесторам, как снизить риск, в случае, если они выбрали активы не "двигающиеся" синхронно.

Основные Положения Современной Портфельной Теории

Современная портфельная теория опирается на следующие ключевые понятия:

• Для покупки и продажи ценных бумаг нет транзакционных издержек. Нет спреда между ценой покупки и продажи. Не уплачивается налог, единственное, что играет роль в определении того, какие ценные бумаги инвестор будет покупать, это риск.
• Инвестор имеет возможность открыть любую позицию любого размера и для любого актива. Ликвидность рынка бесконечна, и никто не может сдвинуть рынок. Так что ничто не мешает инвестору открыть позицию любого размера для любого актива.
• При принятии инвестиционных решений, инвестор не принимает во внимание налоги, полученные дивиденды или прирост стоимости капитала.
• Инвесторы, как правило, рациональны и не склонны рисковать. Они курсе всех инвестиционных рисков, и занимают позиции, степень риска которых известна и ожидают повышения доходности при повышенной волатильности рынков.
• Соотношения риска и доходности, рассматриваются в течение одного и того же периода времени. Долгосрочный и краткосрочный спекулянты имеют одинаковые мотивы: ожидаемая прибыль и временной диапазон
• Инвесторы имеют одинаковые взгляды на оценку рисков. Всем инвесторам предоставляется информация и их продажа или покупка зависит от идентичной оценки инвестиций, и все имеют одинаковые ожидания от инвестиций. Продавец мотивирован, совершить продажу только потому, что другой актив имеет уровень волатильности, которая соответствует его желаемой прибыли. Покупатель совершит покупку, потому что этот актив имеет уровень риска, который соответствует желаемой доходности.
• Инвесторы стремятся контролировать риск, только путем диверсификации активов
• На рынке все активы могут быть куплены и проданы, в том числе человеческий капитал.
• Политика и психология инвестора не влияют на рынок.
• Риск портфеля напрямую зависит от нестабильности доходов данного портфеля.
• Инвестор отдает предпочтение повышению уровня утилизации.
• Инвестор либо максимизирует свою прибыль с минимальным риском либо максимизирует доходность своего портфеля при заданном уровне риска.
• Анализ основан на одной периодичной модели инвестирования.

Выбор Наилучшего Портфеля

Чтобы выбрать лучший портфель из ряда возможных , необходимо принять два существенных решения:

1. Определить набор эффективных портфелей
2. Выбрать наилучший портфель из эффективного множества.

Будучи важным достижением в финансовой сфере, теория также нашла свое применение в других областях. В 1970-х годах, она широко применялась в области региональных наук, для определения соотношения между вариабельностью и экономическим ростом. Так же она была использована в области социальной психологии,для формирования концепции самости. В настоящее время она применяется для моделирования проектных портфелей как финансовых, так и нефинансовых инструментов.